Arten von Logarithmen
Logarithmen (im Englischen: Logarithms) stellen den Exponenten dar, auf den eine Basis erhoben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Das Symbol für Logarithmen ist „log“. Logarithmische Funktionen sind als Umkehrung der Exponentialfunktionen definiert, wodurch eine Exponentialgleichung der Form (x^n = y) in eine logarithmische Gleichung umgewandelt werden kann: (log_b(y) = n). Logarithmen werden je nach Basis (b) in zwei Hauptarten unterteilt, die im Folgenden beschrieben werden:
Der gängige Logarithmus
Wenn die Basis der logarithmischen Funktion 10 beträgt oder wenn keine Basis angegeben ist, wird dieser Typ als gängiger Logarithmus (Common Logarithm) oder allgemeiner Logarithmus bezeichnet. Auch als dezimaler Logarithmus bekannt, wird er als (log₁₀(x)) oder einfach als (log(x)) dargestellt und kann leicht mit einem Taschenrechner berechnet werden.
Der gängige Logarithmus kann in Form einer Exponentialgleichung dargestellt werden, indem die Zahl 10 zur Potenz erhoben wird: log₁₀(x) = y, was 10^y = x entspricht. Die Hauptmerkmale des gängigen Logarithmus umfassen:
- Multiplikations-Eigenschaft
Die Multiplikationsregel des gängigen Logarithmus besagt: log₁₀(x * y) = log₁₀(x) + log₁₀(y).
- Divisions-Eigenschaft
Die Divisionsregel des gängigen Logarithmus besagt: log₁₀(x / y) = log₁₀(x) – log₁₀(y).
- Potenz-Eigenschaft
Die Potenzregel des gängigen Logarithmus besagt: log₁₀(x^y) = y * log₁₀(x).
- Null-Potenz-Eigenschaft
Die Null-Potenzregel des gängigen Logarithmus besagt: log₁₀(1) = 0.
Der natürliche Logarithmus
Wenn die Basis der logarithmischen Funktion gleich der Eulerschen Zahl (e) ist, die etwa 2,71 beträgt, wird dieser Typ als natürlicher Logarithmus (Natural Logarithm) bezeichnet. Er wird als (logₑ(x)) geschrieben und kann in Form einer Exponentialgleichung dargestellt werden, indem die Eulersche Zahl zur Potenz erhoben wird: logₑ(x) = y, was e^y = x entspricht. Die Hauptmerkmale des natürlichen Logarithmus sind:
- Multiplikations-Eigenschaft
Die Multiplikationsregel des natürlichen Logarithmus lautet: logₑ(x * y) = logₑ(x) + logₑ(y).
- Divisions-Eigenschaft
Die Divisionsregel des natürlichen Logarithmus lautet: logₑ(x / y) = logₑ(x) – logₑ(y).
- Ein-Potenz-Eigenschaft
Die Ein-Potenzregel des natürlichen Logarithmus besagt: logₑ(e) = 1.
- Potenz-Eigenschaft
Die Potenzregel des natürlichen Logarithmus besagt: logₑ(x^y) = y * logₑ(x), und auch logₑ(e^y) = y * logₑ(e) = y * 1 = y.
- Null-Potenz-Eigenschaft
Die Null-Potenzregel des natürlichen Logarithmus besagt: logₑ(1) = 0.
- Symmetrie-Eigenschaft
Die Symmetrie-Eigenschaft des natürlichen Logarithmus lautet: logₑ(1/x) = -logₑ(x).
- Exponentielle Eigenschaft des natürlichen Logarithmus
Die exponentielle Eigenschaft des natürlichen Logarithmus besagt: e^(logₑ(x)) = x.
- Unendlichkeitspotenzeigenschaft
Die Unendlichkeitspotenzeigenschaft des natürlichen Logarithmus besagt: logₑ(∞) = ∞.
Es ist erwähnenswert, dass eine Umwandlung zwischen dem gängigen Logarithmus und dem natürlichen Logarithmus wie folgt erfolgt:
- logₑ(x) = 2,303 * log₁₀(x).
- log₁₀(x) = 0,4343 * logₑ(x).