Arten von Brüchen in der Mathematik und die darauf durchgeführten Operationen

Arten von Brüchen

In der Mathematik werden Brüche als zerlegte Zahlen definiert, die in der Form (Zähler/Nenner) geschrieben werden. Die beiden Zahlen werden als Zähler und Nenner bezeichnet. Die Zahl über der Division ist der „Zähler“, während die andere Zahl der „Nenner“ ist. Brüche gibt es in verschiedenen Arten und Formen, die in diesem Artikel detailliert erläutert werden:

Einfache Brüche

Einfache Brüche sind solche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist. Dies bedeutet, dass der Bruch einen Teil des Ganzen repräsentiert. Diese Art von Bruch wird auch als „gewöhnlicher Bruch“ bezeichnet und hat einen Zähler, dessen Wert kleiner ist als der des Nenners. Zum Beispiel ist ein Sechstel ein einfacher Bruch. Hier sind einige Beispiele für einfache Brüche:

• 2/4
• 3/5
• 5/9
• 4/10

Gemischte Brüche

Gemischte Brüche sind solche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist. Diese werden auch als „ungewöhnlicher Bruch“ bezeichnet, da das Ergebnis des Bruchs nach der Division des Zählers durch den Nenner größer als 1 ist. Dies weicht von der ursprünglichen Bedeutung des Bruchs ab, der einen Teil des Ganzen ausdrücken sollte. Dennoch kann dieser Bruch in der Form Zähler/Nenner geschrieben werden. Hier sind einige Beispiele für gemischte Brüche:

• 7/4
• 5/2
• 9/3
• 10/2

Bruchzahlen

Bruchzahlen bestehen aus einer Kombination aus einer ganzen Zahl und einem Bruch und werden als „gemischte Brüche“ bezeichnet. Dies liegt daran, dass sie zwei Arten von Zahlen kombinieren: die ganze Zahl und den Bruch. Der Wert eines gemischten Bruchs ist immer größer als 1. Ein gemischter Bruch kann immer in einen unregelmäßigen Bruch umgewandelt werden und umgekehrt. Hier sind einige Beispiele für Bruchzahlen:

• 1 2/3
• 7 6/9
• 3 5/6
• 2 4/7

Aufgaben zu Brüchen

Hier sind einige illustrative Aufgaben zu Brüchen:

Eine Mutter schneidet ein Brot in acht Stücke und verteilt eines davon an ihre Kinder. Wie viel bekommt jedes Kind?

Ein Stück Brot wird als 1/8 ausgedrückt, was bedeutet, dass jedes Kind 1/8 des Brotes erhält.

Eine Person hat ein Grundstück von 5 Dunam und möchte es zwischen seinen zwei Kindern aufteilen. Wie viel bekommt jeder von ihnen?

Die gesamte Fläche wird geteilt, indem 5 durch 2 geteilt wird, was den Bruch 5/2 ergibt.

Eine Lehrerin möchte drei Stücke Süßigkeiten gleichmäßig zwischen zwei Schülern aufteilen, die die gleiche Note erhalten haben. Wie viel bekommt jeder von ihnen?

Die Lehrerin verteilt zunächst die ersten beiden Stücke, sodass jeder Schüler ein ganzes Stück erhält. Die dritte Süßigkeit wird in zwei gleiche Teile geteilt, sodass jeder Schüler insgesamt 1 1/2 Stücke erhält.

Rechenoperationen mit Brüchen

Es gibt viele Rechenoperationen, die mit Brüchen durchgeführt werden können, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Diese Operationen helfen dabei, die Ergebnisse mathematischer Berechnungen mit Brüchen zu ermitteln. Folgend wird erläutert, wie diese Operationen durchgeführt werden:

Addition und Subtraktion

Die Addition einfacher und gemischter Brüche erfolgt in mehreren Schritten. Der letzte Schritt besteht darin, die Zähler zu addieren, wobei die Nenner gleich sein müssen. Brüche werden addiert oder subtrahiert, wenn die Nenner identisch sind, indem der Zähler zum Zähler addiert oder subtrahiert wird, während der Nenner unverändert bleibt. Ein Beispiel hierfür ist die folgende Addition: 3/5 + 4/5 = 7/5.

Wenn die Nenner der beiden Brüche unterschiedlich sind, muss man die Nenner zuerst vereinheitlichen, bevor man die Addition oder Subtraktion durchführt. Dies geschieht durch Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner. Beispielsweise bei der Addition der Brüche 2/3 + 1/2, wo das kgV der Nenner 2 und 3 gleich 6 ist. Wir multiplizieren den ersten Bruch mit 2 und den zweiten mit 3, sodass die Brüche 4/6 + 3/6 werden, was 7/6 ergibt.

Bei gemischten Zahlen wird der gemischte Bruch in einen unregelmäßigen Bruch umgewandelt. Dann überprüft man die Nenner nach der Umwandlung; wenn sie identisch sind, wird die Addition oder Subtraktion wie bei regulären Brüchen durchgeführt. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, wird das kgV gefunden und die Brüche vereinheitlicht, bevor man die Resultate bestimmt. Wenn wir zum Beispiel die Brüche 1 2/6 + 2 1/4 addieren, wandeln wir sie in unregelmäßige Brüche um und es ergibt sich: 8/6 + 9/4. Da die Nenner verschieden sind, vereinheitlichen wir sie, indem wir den ersten Bruch mit 4 und den zweiten mit 6 multiplizieren, was zu 32/24 + 54/24 = 86/24 führt.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Subtraktion zwischen einfachen und gemischten Brüchen das Verständnis der grundlegenden Subtraktionsprinzipien erfordert. Die Schritte zur Berechnung sind ähnlich wie bei der Addition.

Multiplikation und Division

Einfachere und gemischte Brüche werden durch Multiplizieren des Zählers mit dem Zähler und des Nenners mit dem Nenner multipliziert. Das Beispiel 2/3 * 7/4 ergibt 14/12. Bei gemischten Zahlen wandeln wir die gemischte Zahl zuerst in einen unregelmäßigen Bruch um, bevor wir die Multiplikation wie bei normalen Brüchen durchführen. Zum Beispiel bei 1 2/3 * 2 3/4 wird dies zu (5/3 * 11/5) = 55/15. Es ist erwähnenswert, dass die Multiplikation und Division von Brüchen keine vereinheitlichten Nenner erfordert, und dies fällt unabhängig von der Beschaffenheit der Nenner gleich aus.

Bei der Division von Brüchen wird die Division in eine Multiplikation umgewandelt, indem der zweite Bruch umgekehrt wird. Nehmen wir als Beispiel die Division 2/3 durch 5/7. Wir kehren den zweiten Bruch um, sodass er 7/5 wird, und multiplizieren ihn dann mit dem ersten Bruch, was 2/3 * 7/5 = 14/15 ergibt.

Für gemischte Brüche wandeln wir sie in unregelmäßige Brüche um und führen die Division wie bei einfachen und gemischten Brüche durch. Ein Beispiel hierfür ist 1 3/4 dividiert durch 2 1/4. Wir wandeln sie in (7/4) / (9/4) um, kehren dann den zweiten Bruch um, was zu (7/4) * (4/9) = 28/36 führt.

Aufgaben zu Rechenoperationen mit Brüchen

Im Folgenden sind einige praktische Aufgaben zu Rechenoperationen mit Brüchen sowie ihre Lösungen aufgeführt:

• Was ist das Ergebnis der Addition 3/4 + 5/2?

Wir vereinheitlichen die Nenner, indem wir den zweiten Bruch mit 2 multiplizieren, um 10/4 zu erhalten, und addieren dann: 3/4 + 10/4 = 13/4.

• Was ist das Ergebnis der Subtraktion 8/3 – 5/3?

Da die Nenner gleich sind, subtrahieren wir direkt: (8 – 5)/3 = 3/3.

• Berechne das Produkt der gemischten Zahlen 2 2/4 * 3 1/2?

Wir wandeln die gemischten Zahlen in unregelmäßige Brüche um, sodass wir 10/4 * 7/2 = 70/8 erhalten.

• Teile den Bruch 6/4 durch den Bruch 8/3?

Wir kehren den zweiten Bruch um, was zu 3/8 führt, und multiplizieren ihn dann mit dem ersten Bruch, sodass das Ergebnis 6/4 * 3/8 = 18/32 ist.

Logische Operationen mit Brüchen

Logische Operationen mit den verschiedenen Arten von Brüchen werden durchgeführt, um sie zu vergleichen und festzustellen, ob sie größer, kleiner oder gleich sind. Diese Fälle werden folgendermaßen gekennzeichnet: (größer >), (kleiner <), und (gleich =).

Brüche mit dem gleichen Nenner

Wenn Brüche mit dem gleichen Nenner verglichen werden, ist der Bruch mit dem größeren Zähler der größere Bruch. Zum Beispiel: 3/4 > 2/4.

Brüche mit dem gleichen Zähler

Wenn man zwei Brüche mit dem gleichen Zähler vergleicht, ist der Bruch mit dem größeren Nenner der kleinere Bruch. Zum Beispiel: 4/8 < 4/10.

Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern

Wenn man Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern vergleicht, etwa 5/3 und 4/6, geht man wie folgt vor:

• Zuerst bringt man die Nenner der Brüche zur Einheit.
• Dann findet man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Brüche.
• In diesem Beispiel multiplizieren wir den ersten Bruch mit 2, um die Nenner zu vereinheitlichen.
• Nach der Vereinheitlichung haben wir: 10/6 und 4/6.
• Dann vergleichen wir die beiden Brüche, wie man es mit Brüchen mit ähnlichen Nennern macht. Das Ergebnis ist 10/6 > 4/6.

Aufgaben zu logischen Operationen mit Brüchen

Hier sind einige praktische Aufgaben zu logischen Operationen mit Brüchen und deren Lösungen:

• Vergleiche den Bruch 1 6/4 und den Bruch 5/7?

Nach der Umwandlung des Bruchs 1 6/4 in 10/4 vergleichen wir ihn mit 5/7. Da diese Brüche unterschiedliche Zähler und Nenner haben, vereinen wir sie und erhalten: 70/28 und 20/28, was bedeutet, dass 70/28 > 20/28.

• Vergleiche die Brüche 6/3 und 4/2?

Die Brüche weisen unterschiedliche Zähler und Nenner auf. Nach der Vereinheitlichung erhalten wir 12/6 und 12/6, also sind sie gleichwertig: 12/6 = 12/6.

• Vergleiche die Brüche 2/9 und 5/9?

Hier sind die Nenner gleich, man erhält: 2/9 < 5/9.

• Vergleiche die Brüche 3/7 und 3/5?

Da die Zähler identisch sind, ist der Bruch mit dem größeren Nenner der kleinere, daher ergibt sich 3/7 < 3/5.