Priorität von Operatoren in der Mathematik

Prioritäten der Operatoren in der Mathematik

In der Mathematik werden Probleme normalerweise – sofern keine speziellen Gruppierungszeichen wie Klammern vorhanden sind – von links nach rechts gelöst, wenn die Aufgabe in englischer Sprache verfasst ist, und von rechts nach links, wenn sie in arabischer Sprache geschrieben ist. Dabei wird die Reihenfolge der Rechenoperationen (Order of Operations) gemäß den Prioritäten in mathematischen Ausdrücken oder Gleichungen angewandt, seien es Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division. Im Folgenden finden Sie die Reihenfolge der in Mathematik, Wissenschaft und Technologie sowie in vielen Programmiersprachen verwendeten Operationen, sortiert von der höchsten zur niedrigsten Priorität:

• 1. Zuerst: Ausdrücke innerhalb von Klammern, falls vorhanden.
• 2. Zweitens: Exponenten und Wurzeln.
• 3. Drittens: Multiplikation oder Division.
• 4. Viertens: Addition oder Subtraktion.

Schritte zur Lösung unter Anwendung der Prioritäten der Mathematikoperationen

Bei der Lösung mathematischer Gleichungen sollten die folgenden Schritte in der angegebenen Reihenfolge befolgt werden:

1. Überprüfen Sie den gegebenen mathematischen Ausdruck, achten Sie auf die Anzahl und Art der Rechenoperationen sowie auf das Vorhandensein von Klammern, Exponenten und Wurzeln.
2. Lösen Sie die Ausdrücke innerhalb der Gruppierungszeichen oder Klammern, wie [ ] oder { } oder ( ).
3. Bearbeiten Sie die inneren Klammern zuerst und dann die äußeren, falls Klammern ineinander verschachtelt sind, z. B. [{()}].
4. Berechnen Sie Exponenten und Wurzeln, falls diese im Ausdruck vorhanden sind.
5. Führen Sie die Multiplikations- und Divisionsoperationen durch.
6. Führen Sie die Addition und Subtraktion durch.

Beispiele zu den Prioritäten in der Mathematik

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele zur Anwendung der Reihenfolge der mathematischen Operationen in arabischer Sprache von rechts nach links:

Beispiel 1: Berechnen Sie (15 + 2 × 4)

Die Lösung:

1. Durch Befolgung der genannten Lösungsschritte erkennen Sie das Fehlen von Klammern sowie das Fehlen von Exponenten oder Wurzeln.
2. Die in dem mathematischen Ausdruck vorhandenen Operationen sind nur Multiplikation und Addition.
3. Die höchste Priorität hat die Multiplikation, gefolgt von der Addition.
4. Daher lautet die Lösung wie folgt:
   1. 15 + 2 × 4
   2. = 15 + 8
   3. = 23

Beispiel 2: Berechnen Sie (20 ÷ 5 + 7 × 2 – 6)

Die Lösung:

1. Durch Befolgung der genannten Lösungsschritte erkennen Sie das Fehlen von Klammern und das Fehlen von Exponenten oder Wurzeln.
2. Die in dem mathematischen Ausdruck vorhandenen Operationen sind Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion.
3. Die höchste Priorität besitzen Multiplikation und Division, gefolgt von Addition und Subtraktion.
4. Daher lautet die Lösung wie folgt:
   1. 20 ÷ 5 + 7 × 2 – 6
   2. = 4 + 14 – 6
   3. = 12

Beispiel 3: Berechnen Sie (4 × 2)² + 7)

Die Lösung:

1. Durch Befolgung der genannten Lösungsschritte erkennen Sie das Vorhandensein von Klammern sowie das Vorhandensein eines Exponenten, zusätzlich zur Multiplikation und Addition.
2. Die höchste Priorität hat der Ausdruck innerhalb der Klammer, gefolgt vom Exponenten, dann der Multiplikation und schließlich der Addition.
3. Daher lautet die Lösung wie folgt:
4. (4 × 2)² + 7
5. = (8)² + 7
6. = 64 + 7
7. = 71

Beispiel 4: Berechnen Sie ({(3 × 7)² + 8} – 5)

Die Lösung:

1. Durch Befolgung der genannten Lösungsschritte erkennen Sie das Vorhandensein mehrerer Klammern sowie das Vorhandensein eines Exponenten, zusätzlich zur Multiplikation, Addition und Subtraktion.
2. Die höchste Priorität hat der Ausdruck in der innersten Klammer, gefolgt von den Operationen innerhalb dieser, dann den Operationen innerhalb der äußeren Klammer und schließlich den Operationen außerhalb der Klammern.
3. Daher lautet die Lösung wie folgt:
   1. {(3 × 7)² + 8} – 5
   2. = {(21)² + 8} – 5
   3. = {(441 + 8} – 5
   4. = {449} – 5
   5. = 444