Grundlagen der mathematischen Logik

Die mathematische Logik ist ein dynamisches und sich ständig weiterentwickelndes Fachgebiet, das sich mit der zeitgenössischen Wissenschaft auseinandersetzt. Ihre gegenwärtige Form ist ein direkter Nachfolger der traditionellen aristotelischen Logik. Im Vergleich zur klassischen Logik weist die moderne mathematische Logik zwei Hauptmerkmale auf, die sie von der aristotelischen Logik unterscheiden, abgesehen davon, dass sie unendliche Aussagen umfasst:

Die Verbindung der Logik zur Mathematik.
Die Verwendung einer symbolischen Schreibweise.

Die Bedeutung der mathematischen Logik liegt in den wesentlichen Schlussfolgerungen, die sie für die Mathematik liefert. Sie spielt auch eine entscheidende Rolle in verschiedenen sozialen und naturwissenschaftlichen Bereichen. Ihre Relevanz ist unbestreitbar, da sie den Übergang von Prämissen zu Ergebnissen ohne Widersprüche erleichtert. Dies macht sie unverzichtbar in allen Wissenschaftsbereichen und hat dazu geführt, dass sie die traditionelle Logik überholt und deren Gesetze in Frage gestellt hat.

Die grundlegenden Prinzipien der mathematischen Logik

Die mathematische Logik gründet sich auf vier wesentliche Prinzipien des logischen Systems, die wie folgt lauten:

Bildungsregeln

Die Bildungsregeln definieren die zwei Typen von Grundsymbolen, die die Aussagen bilden:

Grundlegende logische Verknüpfungen, die Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz umfassen.
Grundvariablen, die mittels Buchstaben des Alphabets dargestellt werden.

Die Aussagen werden gemäß diesen Variablen erstellt und durch die grundlegenden logischen Verknüpfungen miteinander verbunden.

Definitionen

Definitionen bedeuten, dass ein neues Symbol denselben Bedeutung wie eine bekannte Gruppe von Symbolen erhält und somit die Äquivalenz logischer Formen verdeutlicht.

Axiome

Axiome sind die grundlegenden Annahmen der deduktiven Logik, die in sich selbst wahr sind, ohne dass ein Beweis erforderlich ist. Sie müssen vollständig, notwendig und in Übereinstimmung miteinander sein.

Umwandlungsregeln (Schlussfolgerungen)

Diese Regeln betreffen die Operationen, die auf logische Ausdrücke angewendet werden. Daraus ergeben sich sowohl bewiesene als auch unbeweisene Aussagen und sie beruhen auf zwei Hauptprinzipien: dem Austausch und der Umformulierung.

Schlussfolgerungsregeln der mathematischen Logik

In der mathematischen Logik basieren die Schlussfolgerungen auf bestimmten Regeln, die wie folgt erläutert werden:

Ersetzungsregel

Diese Regel ist eine Leitregel, die das Einführen neuer Formen für Aussagen ermöglicht.

Austauschregel

Diese Regel erlaubt, Änderungen und neue Formen anstelle von komplexen Ausdrücken einzuführen, während eine Äquivalenz zwischen dem ursprünglichen und neuen Ausdruck bestehen bleibt.

Schlussfolgerungsregel

Dies ist die grundlegende Säule des Schließens und basiert auf der Idee, dass wenn eine Implikation wahr ist, in der die Aussage Q L enthält, und Q wahr ist, dann kann auch L bestätigt werden.

Grundlegende Theorien der mathematischen Logik

Es existiert eine Vielzahl von Beziehungen, die von der mathematischen Logik analysiert und mit spezifischen, präzisen Symbolen versehen wurden. Zu den zahlreichen Theorien der mathematischen Logik zählen unter anderem:

Theorie der Aussagen.
Theorie der Prädikate.
Theorie der Aussagefunktion.
Mengenlehre.
Beziehungstheorie.

Entwicklung der Grundlagen der mathematischen Logik

Die mathematische Logik entstand Mitte des 19. Jahrhunderts und hat sich bis heute weiterentwickelt. Der Grund dafür sind die Mathematiker, die im 19. Jahrhundert das Bedürfnis verspürten, die Grundlagen der Mathematik neu zu formulieren und zu gestalten. Der damalige Ansatz war, auf der traditionellen Logik, insbesondere der von Aristoteles und seinen Nachfolgern, aufzubauen. Nachfolgend werden die Bemühungen der Wissenschaftler zusammengefasst, die Grundlagen der mathematischen Logik zu etablieren:

Beiträge von George Boole

George Boole spielte eine entscheidende Rolle in der Entwicklung der modernen mathematischen Logik, was besonders durch sein 1847 veröffentlichtes Werk „Mathematical Analysis“ zum Ausdruck kommt. Dieses Buch gilt als Ausgangspunkt für zahlreiche Beiträge und Entwicklungen in der mathematischen Logik, die zu einem Konsens unter den Mathematikern führten, den Prozess der wissenschaftlichen Weiterentwicklung voranzutreiben.

Beiträge von Gottlob Frege

Gottlob Frege wird als derjenige angesehen, der die Logik formalisiert hat; er war der erste, der die Theorie der Aussagen formulierte und sie zusammen mit anderen Theorien in einen Rahmen der deduktiven Logik einbettete, den er selbst entwickelte. Dieses System besteht aus Grundideen, Definitionen, Axiomen und Theoremen.

Beiträge von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell

Ende des 19. Jahrhunderts erreichte die Entwicklung der Logik ihren Höhepunkt; die Vermischung von Mathematik und Logik wurde deutlich, als Russell sein erstes Buch „Principia Mathematica“ veröffentlichte, das er als Ergebnis der Lektüre von Peanos Arbeiten schrieb. Dabei gelang es ihm, ein Werkzeug für die logische Analyse zu entwickeln.

Dies führte zu einer Zusammenarbeit mit Whitehead zur Veröffentlichung ihres Werkes „Mathematical Principles“, welches eine wesentliche Rolle in den späteren Entwicklungen neuer deduktiver Systeme spielte.